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淺談浮點數

浮點型變量在計算機內存中占用4字節（Byte）,即32-bit。遵循IEEE-754格式標準。

一個浮點數由2部分組成：底數m 和 指數e。

±mantissa × 2exponent（注意，公式中的mantissa 和 exponent使用二進制表示）

底數部分　使用２進制數來表示此浮點數的實際值。

指數部分　占用８-bit的二進制數，可表示數值范圍為0－255。　但是指數應可正可負，所以IEEE規定， 此處算出的次方須減去127才是真正的指數。所以float的指數可從 -126到128。

底數部分實際是占用24-bit的一個值，由于其高位始終為 1 ，所以高位省去不存儲，在存儲中只有23-bit。

到目前為止， 底數部分 23位 加上指數部分 8位 使用了31位。那么前面說過，float是占用4個字節即 32-bit，那么還有一位是干嘛用的呢？ 還有一位，其實就是4字節中的高位，用來指示浮點數的正負，當高位是1時，為負數，高位是0時，為正數。

浮點數據就是按下表的格式存儲在4個字節中：

Address+0 Address+1 Address+2 Address+3
        Contents SEEE EEEE EMMM MMMM MMMM MMMM MMMM MMMM 
        S: 表示浮點數正負，1為負數，0為正數
        E: 指數加上127后的值的二進制數
        M: 24-bit的底數（只存儲23-bit）

注意：這里有個特例，浮點數 為0時，指數和底數都為0，但此前的公式不成立。因為2的0次方為1，所以0是個特例。當然，這個特例也不用認為去干擾，編譯器會自動去識別。

通過上面的格式，我們下面舉例看下-12.5在計算機中存儲的具體數據：

Address+0 Address+1 Address+2 Address+3
        Contents 0xC1 0x48 0x00 0x00

接下來我們驗證下上面的數據表示的到底是不是-12.5，從而也看下它的轉換過程。

由于浮點數不是以直接格式存儲，他有幾部分組成，所以要轉換浮點數，首先要把各部分的值分離出來。

        Address+0 Address+1 Address+2 Address+3
                格式 SEEEEEEE EMMMMMMM MMMMMMMM MMMMMMMM
                二進制 11000001 01001000 00000000 00000000
                16進制 C1 48 00 00
        可見：
                S: 為1，是個負數。
                E:為 10000010 轉為10進制為130，130-127=3，即實際指數部分為3.
                M:為 10010000000000000000000。

這里，在底數左邊省略存儲了一個1，使用實際底數表示為 1.10010000000000000000000 。

現在，我們通過指數部分E的值來調整底數部分M的值。調整方法為：如果指數E為負數，底數的小數點向左移，如果指數E為正數，底數的小數點向右移。小數點移動的位數由指數E的絕對值決定。

這里，E為正3，使用向右移3為即得：1100.10000000000000000000。

至次，這個結果就是12.5的二進制浮點數，將他換算成10進制數就看到12.5了，如何轉換，看下面：

小數點左邊的1100 表示為 (1 × 23) + (1 × 22) + (0 × 21) + (0 × 20), 其結果為 12 。

小數點右邊的 .100… 表示為 (1 × 2-1) + (0 × 2-2) + (0 × 2-3) + ... ，其結果為.5 。

以上二值的和為12.5， 由于S 為1，使用為負數，即-12.5 。

所以，16進制 0XC1480000 是浮點數 -12.5 。

上面是如何將計算機存儲中的二進制數如何轉換成實際浮點數，下面看下如何將一浮點數裝換成計算機存儲格式中的二進制數。

舉例將17.625換算成 float型。

首先，將17.625換算成二進制位：10001.101 ( 0.625 = 0.5+0.125, 0.5即 1/2, 0.125即 1/8 如果 不會將小數部分轉換成二進制，請參考其他書籍。) 再將 10001.101 向右移，直到小數點前只剩一位 成了 1.0001101 x 2的4次方 （因為右移了4位）。此時 我們的底數M和指數E就出來了：

底數部分M，因為小數點前必為1，所以IEEE規定只記錄小數點后的就好，所以此處底數為 0001101 。

指數部分E，實際為4，但須加上127，固為131，即二進制數 10000011

符號部分S，由于是正數，所以S為0。

綜上所述，17.625的 float 存儲格式就是：0 10000011 00011010000000000000000

轉換成16進制：0x41 8D 00 00

所以，一看，還是占用了4個字節。

接下來看存儲：

Float數據結構： 
                【S】【30——Exp——23】【22——Frac——0】

Double數據結構： 
                【S】【62——Exp——52】【51——Frac——0】 
        S: Sign bit 符號位 
        Exp: exponent(bias) 指數(偏移) 
        Frac: fraction 有效位數

Exp在公式中是2的冪，接近零的小數的描述應為有符號數，有符號數的表示可以為符號位+數字位、補數等，IEEE754采用的是偏移法，不作過多解釋。

對Float偏移量為0x7F(127)、Double偏移量為0x3FF(1023)。

Frac便是有效位數，

注釋 浮點值 S Exp Frac 數學值 
        ----------------------------------------------------------------------- 
        零 0x00000000 0 0x00 0B000...000 0.0 
        ----------------------------------------------------------------------- 
        Min正次正規數 0x00000001 0 0x00 0B000...001 1.40129846e^-45 
        Max正次正規數 0x007FFFFF 0 0x00 0B111...111 1.17549421e^-38 
        ----------------------------------------------------------------------- 
        Min正正規數 0x00800000 0 0x01 0B000...000 1.17549435e^-38 
        Max正正規數 0x7F7FFFFF 0 0xFE 0B111...111 3.40282347e^+38 
        ----------------------------------------------------------------------- 
        Not a Number 0xXXXXXXXX x 0xFF 0Bxxx...xxx NaN是一個數族 
        正無限 0x7F800000 0 0xFF 0B000...000 +Inf 
        負無限 0xFF800000 1 0xFF 0B000...000 -Inf

首先舉例求Float_Max正正規數：

Exp =0xFE = 254； 
         Frac=(2^23 - 1) 
        代入： 2^127 * (1 + (2^23-1) * 2^-23) 
        = 2^128 - 2^104 
        = 3.4028e+38

其它的可自己求。

所以float 型的冪是38，Double的冪應該是308。